jueves, 25 de febrero de 2010

Concepto de Función

> Una relación entre dos conjuntos dados A y B, no vacíos, se da cuando a todos o algunos de los elementos de A, le corresponde, vinculado de alguna manera por alguna condición o propiedad, uno o más elementos de B.> Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto (A), llamado dominio, le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (B),llamado contradominio.> Función Inyectiva (uno a uno): Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una imágen diferente en el contradominio, es decir si a es diferente de b entonces f(a) es diferente de f(b), o bien, si f(a) = f(b) entonces a = b> Función Suprayectiva (sobre): Una función es suprayectiva si todos los elementos del contradominio son imágenes de al menos un elemento del dominio, es decir si "y" está en B entonces existe una "x" en A tal que y=f(x)> Función Biyectiva. cuando es inyectiva y suprayectiva
> Existen funciones que no son ninguna de las tres anteriores. Las llamaremos caso general.
















                   
TIPOS DE FUNCIONES
> Función Par: cuando es simétrica al eje y, es decir, f(x) = f(-x)
> Función Impar: cuando es simétrica al orígen, es decir, f(-x) = - f(x)
> Se debe considerar que existen funciones que que no son pares ni impares.
> Cuando una gráfica es simétrica al eje x, ésta NO representa una función.
> Función Creciente: Si a y b son elementos del dominio de la función f(x) y a < b entonces f(a) < f(b)
> Función Decreciente: Si a y b son elementos del dominio de la función f(x) y a < b entonces f(a) > f(b)
> Una función tiene inversa si la función es inyectiva (uno a uno). Dada la ecuación de una función y=f(x), la inversa se obtiene despejando la y, es decir, obtendremos la función x=g(y). El rango de f(x) es el dominio de g(y)
> Para comprobar que dos funciones, f(x) y g(x), una es la inversa de la otra, se debe hacer la composición de funciones y ésta debe dar como resultado la función identica, es decir, X
> Función Compuesta: Dadas las funciones f y g, la función compuesta f о g , ( léase " f compuesta con g " ), se define como
(f о g)(x) = f(g(x)) , donde el dominio de f о g es el conjunto de las x en el dominio de g, tales que g(x) este en el dominio de f
> Para ejercicios algebraicos prácticos, la composición de funciones consiste en sustituir una función en la otra, es decir, si se quiere f compuesta con g (f о g), se sustituye la función g en la función f. Ejemplo:






CRITERIOS DE ANÁLISIS
> Prueba de la Recta Vertical: permite averiguar si una gráfica representa una función. Para que una gráfica sea función, la reta vertical solo debe cortar en un punto de ella; es decir, visto de otra manera, si al trazarla, corta en dos o más puntos de ésta, entonces NO es función
> Prueba de la Recta Horizontal: permite averiguar si una gráfica representa una función inyectiva. Para que una gráfica sea función inyectiva, la reta horizontal solo debe cortar en un punto de ella; es decir, visto de otra forma, si al trazarla, corta en dos o más puntos de ésta, entonces NO es función inyectiva
> Para verificar que una función es inyectiva se debe demostrar que para cualquier "a" en el contradominio, existe un único número real "x" en el dominio tal que f(x)= a
> Para verificar que una función es suprayectiva hay que ver que su rango sea igual al contradominio. Consideramos por "defaul" que el contradominio de las funciones son todos los números reales (R) debido a que trabajamos con funciones reales de variable real. Por ejemplo, si una función tiene como rango un subconjunto de los reales como de [0,9], la función NO será suprayectiva porque el rango de la función no es igual al contradominio R. Se debe tener presente que una función es suprayectiva si todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de algún elemento, por lo menos, del dominio.
> Dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio, el mismo rango y la misma GRÁFICA.
> Si dos funciones, f y g, tienen la misma gráfica, entonces tienen el mismo dominio y el mismo rango. La proposición recíproca no necesariamente es verdadera

EJEMPLOS DE FUNCIONES

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES